何と、小説の方が十話にまで行きました。では、黄金比について話したいと思います。小説をご覧いただいた方は黄金比について少し聞いたかもしれませんが、そうです、フィボナッチ数列が関係しているのです。例えば小説の方にあった34*55の長方形を分割するとき、フィボナッチ数列に倣って1*1,1*1,2*2,3*3,5*5,~34*34の長方形を使えば分割できるのです。試しにやってみればわかると思います。コツとしては1*1と1*1の正方形を並べた、辺の長さが２のところに2*2の正方形を置いて……と続けていくことです。そして34*55内の格子点みたいなところに赤丸を付けてみてください。そのあとにそれを緩やかに外側から渦を巻くように結ぶと皆さんの見慣れた黄金比の完成です。では、なぜそれが美しいのかを解説します。ここでf()はフィボナッチ数列上の数を表すとします。上の例から一般にf(n)*f(n+1)の長方形は
1*1+1*1+2*2+……f(n)*f(n)=f(1)^2+f(2)^2+f(3)^2+……f(n)^2
で表せます。ここで、
f(2)/f(1)=1
f(3)/f(2)=2/1=2=1+1
f(4)/f(3)=3/2=1+1/2=1+1/(1+1/1)
f(5)/f(4)=5/3=1+2/3=1+1/{1+1/(1+1/1)}
……
となるのはよろしいですか？
ここで注意すべきはf(2)=1、つまりf(2)はフィボナッチ数列でいう二番目を表しているということです。
ここから少し数学IIIの内容に入ります。しかし、基礎的な部分だけですので、それさえわかれば後は楽勝です。山場は越えました。
lim(n→∞)f(n+1)/f(n)=τ＝(1+√5)/2
です。これが美しいといわれるゆえんです。これは上で求めたような方法で求めた分数を分数ではない形で表そうとすると、この(1+√5)/2=1.618033988749895……に近づいていきます。
即ち、
τ＝1+1/(1+1/(1+1/……
=1+1/τ
両辺を整理すると
τ-1=1/τ
τ^2-τ-1=0
ここからもτ=(1+√5)/2が求められますね。