宝くじは買うべき？東大生が教える｢数学的｣解答

宝くじを数学の視点から解説します（画像：宝くじ公式サイト）

いよいよ2023年も残り2週間を切りました。12月22日まで発売している「年末ジャンボ宝くじ」は1等・前後賞合わせて10億円と高額賞金が魅力です。

日本宝くじ協会によると、宝くじをこれまでに購入したことがある人は8500万人を超えており、これは宝くじを購入することができる18歳以上の人口の80％以上。2023年4月に実施した調査では、過去1年間で宝くじを購入した人を指す「宝くじ人口」も5000万人以上います。

宝くじのリターン

さて、そんな宝くじについて1つクイズです。宝くじを300円で1枚購入したとき、返ってくるお金（リターン）はどのくらいでしょうか。

答えを出すために、実際に計算をしてみましょう。

以下は、1等から7等までの「当せん金」とその本数です。

全体の宝くじの発売枚数は4億6000万枚であることがわかっているため、その全体の枚数で割り算をすることで、各等級の当たりが出る確率を算出できます。そして、それぞれの「当せん金」をその確率にかけ算すると、各等級の1枚当たりに見込まれるリターンが算出できるのです。

1等の当たる確率は2000万分の1

例えば、1等が当たる確率を考えてみましょう。1等の当たりの本数は「23本」です。全体の枚数で割ると、

となり、2000万分の1の確率であることがわかります。つまり、2000万分の1の確率で、7億円が当たるのです。よって、1枚買ったときのリターンの平均は、（当たる確率）×（当せん金）で求められるため、

となります。これはあくまで1等に限った話なので、他の等級でも同様に計算していきます。すると、

となります。今回考える「1枚当たりのリターンの平均値」は、この数値をすべて足したものとなり、その答えは「149.995円」。ほぼ「150円」、つまり購入金額の半分のお金が平均で返ってくる計算です。

「案外返ってくるな」と思った人もいれば、「平均すると半分しか返ってこないのか」と残念に思った人もいることでしょう。リターンが半分の賭けごとはやらないほうが得なのは目に見えていますが、それでも多くの人が宝くじを毎年購入するのは、まさに「夢を買っている」からでしょう。

さて、この「リターンの平均値」のことを、数学用語で「期待値」と言います。もしかしたら、聞いたことがある人もいるかもしれません。この期待値ですが、実は昨年（2022年）から、高校1年生で習う必修の単元になりました。