算術の秘密

数学で遊ぼう

　砂場では、子どもたちが小さな手で砂をかき集め、山やトンネルを作って遊んでいた。

　まりは少し微笑みながら言った。
「ねえ、私も山を作ってあげようか？」

　子どもたちは目を輝かせて頷いた。

　まりは空中に指を動かすと、目に見えない計算式を唱える。
「y = -x² + 6x - 5 …よし、これで山の形に…」

　砂の上に、緩やかに盛り上がる丘が現れる。頂点はちょうど子どもたちの身長くらいの高さで、左右に広がる斜面は滑らかで、登ったり滑ったりできる形になっている。

「わあ！すごい！」
　子どもたちは歓声をあげ、嬉しそうに丘を登ったり転げたりした。

　まりは楽しそうに笑いながら、次々と係数を変えて砂の山を作る。
「次は…2x² - 4x + 3。今度は逆さまの山ね！」

　砂の上に逆さまの谷が出現し、子どもたちは慎重にその中を歩き回った。

　砂場で、まりが子どもたちと楽しんでる様子を見て、理世は微笑んだ。

「まり、頑張ってるね。みんなすごく楽しそう」

　その瞬間、背後から「ドサドサドサッ！」と何かが落ちる音が響いた。
　振り向くと、公園の一角が、色とりどりの飴玉で小山どころか“山脈”になっている。

「……あ」
　理世が小さく声を漏らす。
「もしかして、漸化式、止めるの忘れた？」とまりが呆れ顔で言った

　理世の計算で、公園の一角は色とりどりの飴玉で埋め尽くされていた。
「これはさすがに…」理世が目を丸くする。

　理世は笑みを浮かべ、空中に指で線を描きながら言った。
「よし、まずは増え続けるのを止めましょう。両辺に×0をすると、恒等的に成り立つからa_0 = 1 （最初の飴玉）
　a_{n+1} ×0= 2a_n ×0！」

　理世が数式を唱えると、空間に漂う数字の光が一瞬で消え、もう新しい飴玉は現れなくなった。

「次は…既に出てしまった飴玉の総数を数えるよ」
　理世は指をひらひら動かして計算する。

　S_n = 1 + 2 + 4 + …+ 2^n = 2^{n+1} - 1

理世が、その計算で出た答えを2つ用意し、引き算することで、0になると、増えすぎた飴玉たちが一瞬にして一つ残らず消えていった。

「わあ、きれいになった…！」子どもたちは歓声を上げ、足元の地面には元通りの芝生が広がっている。

　理世はほっと息をつき、少し赤くなった頬をかきながら言った。
「やっぱり、総数をちゃんと見て計算しないとダメだね…」